Démonstration de la complétude de ℝ

Soit   une suite de Cauchy de ℝ. Elle est donc bornée:

Or [-M,M] est un compact. On peut donc extraire une sous-suite qui converge vers car cette sous-suite est de Cauchy et n'admet qu'une valeur d'adhérence qui est ℓ.

admettant une sous-suite convergente est donc elle-même convergente. Donc toute suite de Cauchy dans ℝ est convergente.  ℝ est donc complet.